Линейные однородные уравнения первого порядка.
1. Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение $\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right)dx-xdy=0.$
Решение.
Это однородное уравнение первого порядка.
Замена:
Получаем
Ответ:
2. Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение ,
Решение.
Это однородное уравнение первого порядка.
Замена:
Получаем
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом,
.
Или, делая обратную замену, и переобозначая постоянную, получаем
Подставляя начальные условия, имеем
Таким образом,
.
Ответ: .
3. Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение
Решение:
Это линейное однородное уравнение первого порядка.
Делаем замену переменной Тогда
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом,
Делая обратную замену, получаем
Ответ: линейное однородное уравнение первого порядка;
4.
Решение.
Запишем заданное уравнение в виде
Это однородное уравнение первого порядка.
Замена:
Получаем
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.
Проинтегрируем обе части равенства
Отсюда
Далее делаем обратную замену:
Ответ:
5. .
Решение. Запишем заданное уравнение в виде Это однородное уравнение первого порядка. Замена: Получаем Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его. Проинтегрируем обе части равенства Отсюда Далее делаем обратную замену: Ответ: