Рейтинг:  3 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

Линейные однородные уравнения первого порядка.

1.  Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение $\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right)dx-xdy=0.$

Решение.

Это однородное уравнение первого порядка.

 

Замена:

Получаем

 

Ответ: 

 

 

 

2.  Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение 

Решение.

Это однородное уравнение первого порядка.

Замена: 

Получаем

 

Это уравнение с разделяющимися переменными.

 

Таким образом,

.

Или, делая обратную замену, и переобозначая постоянную, получаем 

Подставляя начальные условия, имеем

Таким образом,

.

Ответ: .

 

 

3. Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

 

Решение:

Это линейное однородное уравнение первого порядка.

 

Делаем замену переменной  Тогда

 

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

 

Таким образом,

Делая обратную замену, получаем 

Ответ: линейное однородное уравнение первого порядка; 

 

 

4. 

 

 

Решение.

Запишем заданное уравнение в виде

 

Это однородное уравнение первого порядка.

Замена: 

Получаем

 

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

 

Проинтегрируем обе части равенства

 

Отсюда 

Далее делаем обратную замену:

Ответ: 

 

 

5. .

Решение.

Запишем заданное уравнение в виде

Это однородное уравнение первого порядка.

Замена: 

Получаем

 

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

 

Проинтегрируем обе части равенства

 

Отсюда  

Далее делаем обратную замену: 

Ответ: