Рейтинг:  0 / 5

Звезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

Уравнения второго порядка допускающие понижение порядка.

 Решить дифференциальные уравнения.

1. 

Решение.

Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида .

Замена: . Тогда 

Получаем

 

Это уравнение с разделяющимися переменными.

 

Таким образом,  

Получили снова уравнение с разделяющимися переменными

Таким образом, 

Ответ: 

 

 

 

2. 

Решение.

Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида .

Замена: . Тогда 

Получаем

 

Это линейное неоднородное уравнение первого порядка вида , где , .

Сделаем замену $p=u(x)v(x),$  где  - решение однородного уравнения 

Решим это уравнение.

 

Таким образом

 Отсюда находим 

 

Далее находим функцию $v(x):$

 

Делаем обратную замену:

Таким образом,

Получили снова уравнение с разделяющимися переменными 

Таким образом,

Таким образом,

Ответ: 

  

 

 

3. 

Решение.

Это уравнение второго порядка, которое допускает понижение порядка вида . Сделаем замену .

Тогда

.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

 

Таким образом,  

Делаем обратную замену:  

Найдем , учитывая начальные условия.

 Подставим найденное значение:

 - это снова уравнение с разделяющимися переменными.

Учитывая начальные условия найдем :

Таким образом, 

Ответ: .