Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.
1. Методами дифференциального исчисления исследовать функции и построить их графики. 
.
Решение.
1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:
Область определения 
. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точка 
- точка разрыва.
функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция не периодичная.
Точка пересечения с осью Oy: 
.
Точка пересечения с осью Ox: 
. Т.е. кривая проходит через начало координат.
2) Найдем асимптоты графика.
Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции 
в этой точке.
. Таким образом оба предела бесконечны и прямая является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты задаются уравнением $y=kx+b$, где
;
.
Таким образом прямая 
- наклонная асимптота.
3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.
| $x$ | $(-\infty, 0)$ | 0 | $(0, 1)$ | 1 | (1, 2) | 2 | $(2, \infty)$ |
| $y'$ | + | 0 | - | Не существует | - | 0 | + |
| $y$ |  |
max $y=0$ |
 |
Не существует |
|
min $y=4$ |
|
Производная $y'$ меняет знак с «+» на «–» в точке $x=0$, поэтому в этой точке функция имеет максимум $y(0)=0.$ В точке $x=2$ производная $y'$ меняет знак с «–» на «+», поэтому в этой точке функция имеет минимум $y(2)=4.$
4) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
| $x$ | $-\infty, 1$ | 1 | $(1, +\infty)$ |
| $y''$ | $-$ | не существует | + |
| $y$ | $\cap$ | не существует | $\cup$ |
При $x<1$ $y''<0,$ то есть функция выпукла вверх, При $x>1$ $y''>0,$ то есть функция выпукла вниз.
5) Используя полученные данные, построим график.
2. Исследовать функцию и построить ее график по общей схеме:
Решение.
1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:
Область определения 
. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точки 
и 
- точки разрыва.
функция является четной.
Функция не периодичная.
Точка пересечения с осью Oy: 
.
Точка пересечения с осью Ox: 
. Т.е. кривая проходит через точки 
.
2) Найдем асимптоты графика.
Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции $y(x)$ в этих точках.
Таким образом прямые и являются вертикальными асимптотами.
Наклонные асимптоты задаются уравнением $y=kx+b,$ где
;
.
Таким образом прямая $y=1 -$ наклонная (горизонтальная) асимптота.
3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.
| $x$ |  |
$-\frac{1}{2}$ |  |
0 |  |
$\frac{1}{2}$ |  |
| $y'$ | - | не существует | - | 0 | + | не существует | + |
| $y$ | |
не существует | |
2 | |
не существует | |
Производная $y'$ меняет знак с «–» на «+» в точке $x=0,$ поэтому в этой точке функция имеет минимум $y(0)=2.$
4) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
Таким образом 
и точек перегиба нет.
| $x$ | |
$-\frac{1}{2}$ |  |
$\frac{1}{2}$ | |
| $y''$ | - | не существует | + | не существует | - |
| $y$ | $\cap$ | не существует | $\cup$ | не существует | $\cap$ |
При 
$y''<0,$ то есть функция выпукла вверх, При 
$y''>0,$ то есть функция выпукла вниз. При 
$y''<0,$ то есть функция выпукла вверх.
5)Используя полученные данные, построим график.
3. Исследовать методами дифференциального исчисления функции $y=f(x);$ используя результаты исследования, построить ее график:
Решение.
1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:
Область определения 
. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения.
Проверим функцию на четность:
функция является четной.
Функция не периодическая:
Точка пересечения с осью Oy: 
.
Точка пересечения с осью Ox: 
.
Решим это уравнение. Для этого сделаем замену 
. Получаем:
Уравнение не имеет корней и, следовательно, кривая не пересекает ось Ох.
2) Найдем асимптоты графика.
Вертикальные асимптоты функция не имеет, поскольку она не имеет точек разрыва.
Наклонные асимптоты задаются уравнением 
, где
Таким образом, наклонных асимптот кривая тоже не имеет.
3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.
| $x$ |  |
$-1$ |  |
0 |  |
$1$ |  |
| $y'$ | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| $y$ | |
4 | |
5 | |
4 | |
Производная $y'$ меняет знак с «–» на «+» в точке $x=-1$ и в точке $x=1,$ поэтому в этих точках функция имеет минимум 
Производная $y'$ меняет знак с «+» на «-» в точке $x=0,$ поэтому в этой точке функция имеет максимум 
4) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.
Производная $y''$ меняет знак в точках 
и 
, поэтому в этих точках функция имеет точки перегиба.
| $x$ |  |
 |
 |
 |
 |
| $y''$ | + | 0 | - | 0 | + |
| $y$ | $\cup$ |  |
$\cap$ | |
$\cup$ |
При 
$y''>0,$, то есть функция выпукла вниз.
При 
$y''<0,$ то есть функция выпукла вверх. Используя полученные данные, построим график.
4. Провести полное исследование функции 
и построить график.
Решение. 1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции: Область определения Проверим функцию на четность: Функция не периодическая: Точка пересечения с осью Oy: Точка пересечения с осью Ox: Следовательно кривая пересекается с осями координат в точках Найдем асимптоты графика. Наклонные асимптоты задаются уравнением Таким образом, наклонных асимптот кривая не имеет. Проверим, есть ли вертикальная асимптота в граничной точке области определения Следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту 2) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы. Решая геометрически получаем x 0 y' + 0 - 0 + y 0 Производная $y'$ меняет знак с «+» на «-» в точке Производная меняет знак с «-» на «+» в точке 3) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба. Производная x y'' - 0 + y При При Используя полученные данные, построим график. 
. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения.
функция не является четной и не является нечетной.
.
.
и 
.
, где 
:
.
, поэтому в этой точке функция имеет максимум
, поэтому в этой точке функция имеет минимум 
меняет знак в точке 
, поэтому в этой точке функция имеет точку перегиба.
, то есть функция выпукла вниз.
, то есть функция выпукла вверх.
5. Провести полное исследование функции 
и построить ее график
Решение. 1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции: Область определения Функция не периодичная. Точки пересечения с осью Oy нет: Точка пересечения с осью Ox: 2) Найдем асимптоты графика. Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции Наклонные асимптоты задаются уравнением Таким образом, наклонных асимптот функция не имеет. 3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы. x $-\infty; 0$ 0 (0; 1) 1 $(1; +\infty)$ y' – Не существует – 0 + y Не существует Минимиум В точке 4) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба. x $(-\infty ;-\sqrt[3]2)$ 0 $(0; \infty)$ y'' + 0 — не существует + y 0 не существует При 5) Используя полученные данные, построим график. 
. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точка 
- точка разрыва.
функция не является ни четной, ни нечетной.
.
. Т.е. кривая проходит через точку 
.
в этой точке.
. Таким образом оба предела бесконечны и прямая является вертикальной асимптотой., где
;
.
производная 
меняет знак с «–» на «+», поэтому в этой точке функция имеет минимум 
.
$(-\sqrt[3]2; 0)$
, то есть функция выпукла вверх, При 
, то есть функция выпукла вниз.
6. Исследовать функцию 
и схематично построить ее график.
Решение. 1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции: Область определения Функция не периодичная. Точка пересечения с осью Oy: Точка пересечения с осью Ox: 2) Найдем асимптоты графика. Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Следовательно, вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты задаются уравнением Таким образом прямая 3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы. x $(-\infty; 2)$ 2 $(2; \infty)$ y' + 0 - y max y=2 Производная меняет знак с «+» на «–» в точке 4) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба. x $(-\infty; 4)$ 4 $(4; \infty)$ y'' — 0 + y При Используя полученные данные, построим график. 
. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точек разрыва нет.
функция не является ни четной, ни нечетной.
.
. Т.е. кривая проходит через начало координат., где
;
- горизонтальная асимптота.
, поэтому в этой точке функция имеет максимум 
, то есть функция выпукла вверх, При 
, то есть функция выпукла вниз. В точке 
функция имеет точку перегиба
7. Заданную функцию исследовать методами дифференциального исчисления. На основании результатов исследований построить график функции.
.
Решение. 1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции: Область определения Проверим функцию 2) функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая: 3) Точка пересечения с осью Oy: Точка пересечения с осью Ox: Следовательно, кривая пересекает ось Ох в точках 4) Найдем асимптоты графика. Вертикальные асимптоты функция не имеет, поскольку она не имеет точек разрыва. Наклонные асимптоты задаются уравнением Таким образом, наклонных асимптот кривая тоже не имеет. 5) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы. x 0 2 y' - 0 + 0 - y 5 4 Производная Производная 6) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба. Производная меняет знак в точке x 1 y'' — 0 + y При Используя полученные данные, построим график. 
. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. на четность:
.
. 
., где
меняет знак с «–» на «+» в точке 
, поэтому в этой точке функция имеет минимум 
меняет знак с «+» на «-» в точке 
, поэтому в этой точке функция имеет максимум 
, поэтому в этой точке функция имеет точку перегиба.
, то есть функция выпукла вверх. При 
, то есть функция выпукла вниз.
8. Заданные функции исследовать методами дифференциального исчисления. На основании результатов исследований построить графики функций.
Решение. 1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции: Область определения: $x^2-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1;\,\,\, x\neq -1$ $D(f)=(-\infty; -1)\cup(-1; 1)\cup (1; +\infty).$. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точки $x=-1$ и $x=1$ - точки разрыва. Функция не периодичная. Точка пересечения с осью Oy: Точка пересечения с осью Ox: $y=0\Rightarrow\frac{1}{x-1}=0.$ Следовательно, 2) Найдем асимптоты графика. Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции в этих точках. Наклонные асимптоты задаются уравнением Таким образом прямая 3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы. Следовательно экстремумов функция не имеет. x 1 y' – Не существует - y Не существует Производная всюду имеет знак «-». Следовательно, функция убывает на всей области определения. 4) Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба. Следовательно, точек перегиба функция не имеет. x 1 y'' — не существует + y не существует При 5) Используя полученные данные, построим график. 
функция не является ни четной, ни нечетной.
.
при всех 
из области определения. Т.е. кривая проходит через точку 
и не пересекает ось Ох.
. Таким образом, оба предела бесконечны и прямая является вертикальной асимптотой.
. Ни один из пределов не рамен бесконечности, то есть в этой точке асимптоты нет – в точке 
имеем устранимый разрыв., где 
. 
- асимптота.
, то есть функция выпукла вверх, При 
, то есть функция выпукла вниз.