Исследование на сходимость несобственных интегралов.
1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение. Ответ: .
2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл Решение. Ответ: .
3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл . Решение. Ответ: 2.
4. Определите, при каких $p$ сходится несобственный интеграл: Решение.
Рассмотрим интеграл
Таким образом, интеграл сходится при Рассмотрим интеграл
Таким образом, функция имеет ограниченную первообразную на промежутке . Кроме того, она непрерывна на этом промежутке. Функция непрерывно дифференцируема и монотонна на , и . Следовательно, при интеграл сходится по признаку Дирихле. Абсолютная сходимость:
Интеграл сходится при . Следовательно, интеграл сходится абсолютно при Ответ: сходится абсолютно при , сходится условно при .