Исследование на сходимость числовых рядов с положительными членами.
1. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. Имеем Исследуем на сходимость ряд По признаку Даламбера ряд Ответ: Ряд сходится.
.
по признаку Даламбера.
сходится. Следовательно, ряд также сходится.
2. 
Решение. Используем интегральный признак сходимости: Интеграл Ответ: ряд расходится.
расходится, следовательно, ряд тоже расходится.
3. 
Решение. Так как Исследуем на сходимость ряд по признаку Даламбера. По признаку Даламбера ряд Ответ: Ряд сходится.
, то 
. сходится. Следовательно, ряд также сходится.
4. 
Решение. Так как Ряд Следовательно, по признаку сравнения, ряд Ответ. Ряд сходится.
, то 
.
сходится как обобщенный гармоничный ряд вида 
, где 
. также сходится.
5. 
Решение. Воспользуемся интегральным признаком сходимости. Рассмотрим интеграл То есть интеграл Ответ: Сходится.
сходится. По интегральному признаку сходимости рядов отсюда следует, что ряд 
также сходится.
6. 
Решение. Необходимое условие сходимости рядов не выполняется, следовательно ряд расходится. Ответ: расходится.
7.
Решение. Это ряд с положительными членами. Так как Ответ: ряд расходится.
, то необходимое условие сходимости рядов не выполняется. Следовательно, ряд расходится.
8. 
Решение. Воспользуемся признаком сравнения: Ответ: Ряд расходится. 
, т.е. ряды и 
сходятся и расходятся одновременно. Второй ряд – ряд Дирихле, расходится, т. к. в знаменателе 
(степень p=1/2<1). Следовательно ряд также расходится.
9. 
Решение. Исследуем на сходимость ряд . Это знакоположительный ряд вида Следовательно, ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.
, где 
. Исследуем его на сходимость, пользуясь признаком Даламбера.
.
10. 
Решение. Покажем, что Следовательно, Таким образом, и Исследуем на сходимость ряд Покажем, что Отсюда, по признаку эквивалентности, следует, что ряды Ответ: ряд сходится.
.
Отсюда, по признаку эквивалентности, следует, что ряды 
либо оба сходятся, либо оба расходятся.:
и 
либо оба сходятся, либо оба расходятся.- это ряд Дирихле вида 
где 
. Следовательно, ряд сходится. Таким образом, по признаку эквивалентности также сходится ряд и ряд .
11.
Решение. Так как Ряд Так как интеграл Из неравенства Ответ: сходится.
- ряд с положительными членами.
, то 
исследуем на сходимость, пользуясь интегральным признаком сходимости рядов:
сходится, то, по признаку эквивалентности, интеграл 
также сходится. И, по интегральному признаку сходимости рядов, ряд сходится. следует, что данный в условии ряд сходится.
12. 
Решение. При Исследуем на сходимость ряд Следовательно, интеграл Ответ: ряд сходится.
. Воспользуемся интегральным признаком сходимости:
сходится, а значит и ряды и так же сходятся.