Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
1. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд.
Решение. Запишем данный ряд в виде Это знакопеременный ряд. Исследуем на условную сходимость с помощью признака Лейбница: Последовательность Следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится условно. Абсолютная сходимость: Покажем это: Ряд Следовательно, ряд Ответ: ряд 
монотонно убывает: 
;
- расходится как ряд Дирихле вида 
с 
.
также расходится. сходится условно.
2. 
Решение.
- знакочередующийся ряд.
Условная сходимость (признак Лейбница):
Последовательность 
монотонно убывает: 
;
.
Следовательно условная сходимость есть.
Абсолютная сходимость:
.
Ряд 
сходится как ряд Дирихле со степенью 
. Следовательно, ряд 
также сходится и ряд сходится абсолютно.
Ответ: ряд сходится абсолютно.
3. 
Решение. Это знакопеременный ряд вида Условная сходимость: Проверим выполнение следующих условий: 1) 2) 1) 2) Таким образом, оба условия выполняются и, по признаку Лейбница, ряд сходится условно. Абсолютная сходимость: Чтобы ряд сходился абсолютно, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд Проверим на сходимость ряд Воспользуемся признаком эквивалентности: Таким образом, ряды Отсюда имеем, что ряд Ответ: ряд 
. Будем его исследовать на условную и абсолютную сходимость.
.
.
и 
либо оба сходятся, либо оба расходятся. Но ряд - это гармонический расходящийся ряд. Следовательно, ряд также расходится. сходится условно. сходится условно.
4. Вычислить сумму ряда с точностью 
Решение. Полученный ряд знакопеременный и он удовлетворяет условиям теоремы Лейбница: Следовательно, |S – Sn|<an+1 Последовательно имеем: Следовательно, Ответ: 
