Вычисление вычетов в особых точках функции.
1. Найти все особые точки функции, определить их характер (для полюсов указать порядок) и вычислить вычеты в них.
Решение.
Найдем точки, где функция не определена. Это точки и . Исследуем поведение функции в окрестности точки . Так как
,
то точка является полюсом второго порядка. Убедимся в этом.
Запишем разложение функции в ряд Лорана:
Поскольку в разложении в ряд Лорана есть член ряда с отрицательной степенью , то точка является полюсом второго порядка.
Исследуем поведение функции в окрестности точки : Выполнив преобразование будем иметь
.
Разложим функцию в окрестности точки в ряд Лорана
Окончательно получим
В разложении ряда Лорана функции в окрестности точки главная часть содержит бесконечное число членов, поэтому точка является существенно особой точкой функции . А точка существенно особой точкой функции
Далее найдем вычеты в особых точках. Поскольку вычет , где - коэффициент ряда Лорана при , то
.