Рейтинг:  3 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

 Найти область сходимости степенных рядов:

 1.  

 Решение.

Это степенной ряд вида , где 

Радиус сходимости ищем по формуле .

 

Следовательно, при  ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится.

Проверим на концах интервала:

.

.

Это знакочередующийся ряд.

Условная сходимость:

Последовательность  монотонно убывает:

. Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд сходится условно.

Абсолютная сходимость:

, ряд  - сходится как ряд Дирихле вида  с .

Таким образом, в точке , ряд сходится абсолютно.

 

.

 - это знакоположительный ряд. Он ряд сходится, как было показано выше.

Ответ:  При  ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится.

 

2.    

Решение.

.

Степенной ряд вида , где 

Радиус сходимости будем искать по формуле .

 

 

Следовательно при  ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится.

Проверим на концах интервала:

.

.

Абсолютная сходимость:

, ряд  - расходится как ряд Дирихле с .

Условная сходимость:

 Последовательность монотонно убывает: ;.

.

Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд сходится условно. 

 - этот ряд расходится, как было показано выше.

Ответ:  При ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится, при  ряд сходится условно.

 

3. 

Решение.

Степенной ряд вида , где 

Радиус сходимости будем искать по формуле .

 

 Следовательно при  ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится.

Проверим на концах интервала:

.

.

Абсолютная сходимость:

Ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда:  

Условная сходимость:

. Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд расходится.

 

.

 - этот ряд расходится, как было показано выше (не выполняется необходимое условие сходимости).

Ответ:  При  ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится.

 

4. 

Решение.

Степенной ряд вида , где 

Радиус сходимости будем искать по формуле .

 

Следовательно, при  ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится.

Проверим на концах интервала:

.

Абсолютная сходимость:

Ряд  - расходится как ряд Дирихле с .

Условная сходимость:

Последовательность  монотонно убывает: ;

. Следовательно, по признаку Лейбница, в точке , ряд сходится условно.

.

 - этот ряд расходится как ряд Дирихле с .

Ответ:  При ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится, при  ряд сходится условно.

 

5.  

Решение.

Имеем степенной ряд вида , где 

Найдем его радиус сходимости:

 

Таким образом, ряд сходится абсолютно, при .

Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:

 

 - знакочередующийся ряд. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

 

 

Ряд проверим на сходимость по интегральному признаку:

 

Следовательно, ряд   сходится абсолютно, а значит он сходится.

 

 Этот ряд сходится по интегральному признаку, как было показано выше. Следовательно, ряд  сходится абсолютно при  и расходится при 

Ответ: Ряд сходится абсолютно при  и расходится при 

 

6

Решение.

Это степенной ряд вида , где 

Найдем радиус сходимости:

 

 Таким образом, ряд сходится абсолютно на интервале , расходится при . Проверим ряд на сходимость на концах интервала:

 

 

Это знакопеременный ряд. Проверим его на условную сходимость по признаку Лейбница:

 

Для вычисления предела воспользуемся формулой Стрилинга:

.

Условие Теоремы Лейбница не выполняется, следовательно условной сходимости нет. Абсолютной сходимости, тоже нет, поскольку общий член ряда  не стремится к нулю, то есть не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

  

Данный ряд расходится, как было показано выше. Следовательно, степенной ряд  сходится абсолютно при , расходится при .

Ответ: Ряд сходится абсолютно при , расходится при .

 

7. 

Решение.

Это степенной ряд вида , где 

Найдем радиус сходимости:

 

 

 Таким образом, ряд сходится абсолютно на интервале , расходится при . Проверим ряд на сходимость на концах интервала:

 

 

Это ряд с положительными членами. Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда:

.

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, следовательно, в точке  ряд расходится.

 

 

Ряд расходится, как было показано выше. Следовательно, абсолютной сходимости нет.

Проверим ряд на условную сходимость, пользуясь признаком Лейбница:

 

Первое условие теоремы Лейбница не выполняется, следовательно, условной сходимости также нет. Таким образом, в точке   ряд расходится.

Получаем ответ.

Ответ: Ряд  сходится абсолютно при , расходится при

 

 

Найти сумму ряда и область сходимости 

1. 

Решение.

Исследуем ряд  на сходимость:

Степенной ряд вида , где 

Радиус сходимости будем искать по формуле .

 

 

Следовательно, при  ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится.

Проверим на концах интервала:

.

Покажем, что

 

 

Таким образом, по признаку эквивалентности ряды и сходятся и расходятся одновременно.

Ряд   - сходится как ряд Дирихле с .Следовательно, ряд также сходится.

.

 - этот ряд сходится как и при .

Таким образом, при $x\in[-1; 1]$ ряд сходится абсолютно. При  ряд расходится.

Вычислим сумму ряда. При  ряд расходится, поэтому  При 

Найдем сумму при .

 

Далее используем известное разложение в ряд Маклорена функции (здесь нет модуля, просто скобки, т.к. ), получаем:

 

Таким образом,

 

Далее находим сумму 

 

Отсюда

Константа  С может быть найдена из условия  

Таким образом,

Ответ: , При $x\in[-1; 1]$ ряд сходится абсолютно. При    При При