Исследование функции на непрерывность. Точки разрыва.
1. Задана функция $y=f(x).$ Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.
Решение.
Каждая из функций 1, $\cos x$, $1-x -$ элементарная, и, соответственно, непрерывна в каждой точке интервала, в котором она определена. Таким образом, функция $f(x)$ непрерывна для всех значений 
Остается проверить непрерывность $f(x)$ в предельных точках $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}.$ Найдем односторонние пределы и значения функций в этих точках.
Поскольку 
, но функция $f(x)$ в точке 0 не определена, то в этой точке функция имеет устранимый разрыв.
Аналогично,
Поскольку оба односторонних предела существует и они конечны, но 
, то функция имеет в точке разрыв первого рода. Скачек 
.
Построим график функции:
2. Задана функция $y=f(x).$ Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.
Решение.
Каждая из функций $1-x^2,$ -3, $\sin x -$ элементарная, и, соответственно, непрерывна в каждой точке интервала, в котором она определена. Таким образом, функция $f(x)$ непрерывна для всех значений 
Остается проверить непрерывность в предельных точках $x=-2$ и $x=0.$ Найдем односторонние пределы и значения функций в этих точках.
Поскольку 
, то в этой точке функция непрерывна.
Аналогично,
Поскольку оба односторонних предела существует и они конечны, но 
, то функция имеет в точке $x=0$ разрыв первого рода. Скачек 
.
Построим график функции:
