1. Дана матрица линейного оператора. Найти его образ и ядро, собственные числа и собственные векторы.
.
Решение.
Множество 
всех векторов 
называется образом оператора A.
То есть 
в том и только том случае, когда найдется вектор $x\in R^3$ такой, что $y=Ax$ или, в координатной записи,
Найдем ядро оператора.
Определение. Ядром (или нуль-пространством) линейного оператора 
называется множество всех элементов из V , которые отображаются линейным оператором A в нулевой вектор. Ядро оператора A обозначается ker A. 
В соответствии с определением ядра
Итак, ядром оператора A является точка 
Найдем собственные вектора заданного линейного оператора.
Число 
есть собственное число оператора 
в том и только том случае, когда 
. Запишем характеристическое уравнение:
Решая его, имеем
Таким образом, получаем собственные числа оператора:
Для каждого из полученных собственных значений найдем собственные векторы.
Их можно найти их системы 
.
А) 
Решим однородную систему уравнений.
Матрица коэффициентов 
имеет ранг 1. Выберем в качестве базисного минора 
Тогда, полагая 
, имеем
Таким образом, общее решение системы
.
Из общего решения находим фундаментальную систему решений:
.
С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде 
.
Б) 
Решим однородную систему уравнений.
Матрица коэффициентов 
имеет ранг 1. Выберем в качестве базисного минора 
Тогда, полагая 
имеем 
Таким образом, общее решение системы 
.
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: 
.
С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде 
.
Ответ:
Собственные числа оператора:
Собственные векторы: ; .