Рейтинг:  4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна
 

Нахождение ортонормированного базиса из собственных векторов симметрического линейного оператора, заданного матрицей. 

1. Найти ортонормированный базис из собственных векторов симметрического линейного оператора, заданного матрицей .

 

 

 

 

Решение.

Найдем собственные вектора заданного линейного оператора.

Число  есть собственное число оператора  в том и только том случае, когда . Запишем характеристическое уравнение:

Решая его, имеем

 Таким образом, получаем собственные числа оператора:

Для каждого из полученных собственных значений найдем собственные векторы.

Их можно найти их системы .

А) 

 

Решим однородную систему уравнений.

 

Матрица коэффициентов  имеет ранг 2. Выберем в качестве базисного минора  Тогда, полагая , имеем

Таким образом, общее решение системы

.

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: 

.

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде .

 

Б) 

Решим однородную систему уравнений

.

 Матрица коэффициентов  имеет ранг 2. Выберем в качестве базисного минора  Тогда, полагая , имеем 

Таким образом, общее решение системы .

Из общего решения находим фундаментальную систему решений:

 .

С использованием фундаментальной системы решений, общее решение может быть записано в виде

В) 

 

Решим однородную систему уравнений.

 Матрица коэффициентов  имеет ранг 4, поскольку 

 

Так как ранг равен количеству неизвестных, то система имеет только тривиальное решение.

 

Г) 

 Решим однородную систему уравнений.

 Матрица коэффициентов  имеет ранг 4, поскольку 

 

Так как ранг равен количеству неизвестных, то система имеет только тривиальное решение.

Таким образом, имеем собственные вектора   и .

Выберем в качестве ортогонального базиса вектора .

Нормируем найденный ортогональный базис:

 Ответ: