Рейтинг:  3 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

Исследование на сходимость числовых рядов с положительными членами.

1. Исследовать на сходимость ряд

.

 

Решение.

Имеем .

Исследуем на сходимость ряд  по признаку Даламбера.

 

По признаку Даламбера ряд   сходится. Следовательно, ряд  также сходится.

Ответ: Ряд сходится.

2. 

 


Решение.

Используем интегральный признак сходимости:

 

 

Интеграл расходится, следовательно, ряд  тоже расходится.

Ответ: ряд расходится.

3. 

 


Решение.

Так как , то .

Исследуем на сходимость ряд  по признаку Даламбера.

 

По признаку Даламбера ряд   сходится. Следовательно, ряд  также сходится.

 Ответ: Ряд  сходится.

 

4. 

 


Решение.

Так как , то .

Ряд   сходится как обобщенный гармоничный ряд вида , где .

Следовательно, по признаку сравнения, ряд   также сходится.

Ответ. Ряд сходится.

 

5.

 


Решение.

Воспользуемся интегральным признаком сходимости. Рассмотрим интеграл 

 

 То есть интеграл  сходится. По интегральному признаку сходимости рядов отсюда следует, что ряд также сходится.

Ответ: Сходится.

 

6.

 


Решение.

Необходимое условие сходимости рядов не выполняется, следовательно ряд расходится.

Ответ: расходится.

 

7.

 


Решение.

Это ряд с положительными членами.

 

Так как , то необходимое условие сходимости рядов не выполняется. Следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

 

8.            

 

          

Решение.

Воспользуемся признаком сравнения:

, т.е. ряды  и  сходятся и расходятся одновременно. Второй ряд – ряд Дирихле, расходится, т. к. в знаменателе    (степень p=1/2<1). Следовательно ряд  также расходится.

Ответ: Ряд расходится.

 

9. 

 


Решение.

Исследуем на сходимость ряд . Это знакоположительный ряд вида , где . Исследуем его на сходимость, пользуясь признаком Даламбера.

 

.

Следовательно, ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.

 

10.  

 


Решение.

Покажем, что

 

Следовательно,

.

Таким образом,  Отсюда, по признаку эквивалентности, следует, что ряды 

  и    либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Исследуем на сходимость ряд   :

Покажем, что

 

Отсюда, по признаку эквивалентности, следует, что ряды    и    либо оба сходятся, либо оба расходятся.

 - это ряд Дирихле вида   где . Следовательно, ряд  сходится. Таким образом, по признаку эквивалентности также сходится ряд    и ряд  .

Ответ: ряд сходится.

 

11.

 


Решение.

- ряд с положительными членами.

Так как , то 

Ряд  исследуем на сходимость, пользуясь интегральным признаком сходимости рядов:

 

Так как интеграл   сходится, то, по признаку эквивалентности, интеграл   также сходится. И, по интегральному признаку сходимости рядов,  ряд  сходится.

Из неравенства   следует, что данный в условии ряд  сходится.

Ответ: сходится.

 

12.  

 


Решение.

 

При 

 Исследуем на сходимость ряд . Воспользуемся интегральным признаком сходимости:

 

Следовательно, интеграл  сходится, а значит и ряды   и  так же сходятся.

Ответ: ряд сходится.