Рейтинг:  3 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.

1. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд.

 

 

 

Решение.

Запишем данный ряд в виде 

 Это знакопеременный ряд. Исследуем на условную сходимость с помощью признака Лейбница:

Последовательность  монотонно убывает: ;

Следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится условно.

Абсолютная сходимость:

 

Покажем это:

Ряд  - расходится как ряд Дирихле вида  с .

Следовательно, ряд  также расходится.

Ответ: ряд  сходится условно.

 

2.  

 

 

 

Решение.

 - знакочередующийся ряд.

Условная сходимость (признак Лейбница): 

Последовательность монотонно убывает: ;

.

 Следовательно условная сходимость есть.

Абсолютная сходимость:

.

Ряд  сходится как ряд Дирихле со степенью . Следовательно, ряд   также сходится и ряд  сходится абсолютно.

Ответ: ряд  сходится абсолютно.

 

 

 3. 

 

 

Решение.

Это знакопеременный ряд вида . Будем его исследовать на условную и абсолютную сходимость.

Условная сходимость:

Проверим выполнение следующих условий:

1)   

2)

   

 

1)   

2)

     

 

Таким образом, оба условия выполняются и, по признаку Лейбница, ряд сходится условно.

Абсолютная сходимость:

Чтобы ряд сходился абсолютно, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд .

Проверим на сходимость ряд .

Воспользуемся признаком эквивалентности:

 

Таким образом, ряды  и  либо оба сходятся, либо оба расходятся. Но ряд - это гармонический расходящийся ряд. Следовательно, ряд  также расходится.

Отсюда имеем, что ряд  сходится условно.

Ответ: ряд  сходится условно.

 

 

4. Вычислить сумму ряда с точностью 

 

 

 

Решение.

 

Полученный ряд знакопеременный и он удовлетворяет условиям теоремы Лейбница:

 

Следовательно, |S – Sn|<an+1

Последовательно имеем:

 

Следовательно, 

Ответ: